一番のお薦めはnoriさんが書いているように代官山でしょうね。
代官山で一番有名なカフェ、ミケランジェロで遊んでおります。「まったり」「おしゃれ」という表現も
近いかもしれません。
2月28日のGammon Tokyo Stationもお薦めです。新丸ビルのカフェでギャモンしています。
そのほかだと下記URLに都内でのバックギャモンイベントが載っております。、
https://backgammon.or.jp/EventSchedule/ ... lendar.cgi
これらのイベントではボードは置いてありますし、対戦相手もいます。
協会のイベントではなく、友人と遊びに行ってギャモンができる店と言う意味ならば
たくさんあります。
ボードも置いてあってマスターが暇なら相手してくれる店ならパッと思いつくのはこの3つ。
代々木の
Darts
西新宿の
ブラックサン
四谷の
だあしゑんか
あとは行きやすい場所を教えてくだされば、それに合わせてもお教えできるかもしれません。