質問が長文になってしまいました。すみませんがよろしくお願いいたします。
バーにはお互いの駒はありません。相手の駒は自分のインナー以外のところにいくつかあります。
自分の駒は３ポイントに４個あるだけで、これで全部です。他にはありません。
出た目は６と１です。
３ポイントにある駒は出た目が６のポイントではなく、出た目が６よりも後ろにも駒は無いため最後尾の駒に該当するので、出た目６を使用して上げることができます。
また、出た目１を使用して３ポイントにある駒を１進めることができます。
この場合、出た目が６を使用する手と出た目が１を使用する手では、どちらの手を先に行ってもいいのでしょうか？
それとも、出た目が１の手が優先され先に行い、出た目が６の手が後でなければならないということはありますでしょうか？
伺いたいことは、この状況でルールとしてどちらが先でなければ、後でなければということはあるかという点です。
ルールとマナーから引用します、
>> 出たさいころの目は動かすことが可能であるなら全て使わなければなりません。
と書かれてあるだけなので、私はどちらの手が先でも後でもかまわないんじゃないかなと思っているのですが……。
ご助言くだされば幸いです。
長文失礼しました。

仰る通り、一般的には特にどちらの目を先に使わなければならないというルールはありません。
例えば残り３ポイントと４ポイントに１枚ずつ残っている場合の出目６１を考えます。
このとき、まず６の目を使って４ポイントの駒を上がり、残る１の目で3/2と３ポイントの駒を進めるのが一つです。
また、先に１の目を使って4/3と４ポイントの駒を３ポイントに重ね、残る６の目で３ポイントの駒を上がる手もあります。
どちらもルール上正しい手です。

一応、動かす出目の順番が決められている例外的な状況は存在します。以下の三つです。
・自分の駒がバーに上げられているときは、まずバーの駒全てを相手陣のどこかにエンターして、それからでないと他の駒は動かせない。よって、例えば相手の６ポイントが埋まっている状態でバー上から１６を振ったとき、６の目を先に使うことはルール上できない。
・両方の出目が使えるムーブが存在する場合は、必ず両方とも使わなければならない。片方の出目で特定の動かし方をしたらもう片方が使えなくなってしまったからムーブ終了、とはできない。
・どう動かしても、どちらか片方の出目を使うともう片方が使えなくなってしまうような盤面では、必ず大きい方の出目を使わなければならない。こちらが９ポイントに１枚のみ、相手はこちらの４ポイントにブロックがある状態で３２を振った場合、２の目のみを使う9/7とは動かせず、３の目のみを使う9/6としか動かせない。

上田