in a mirror    かがみのなか by 皆上強志

（１） ギャモン・セーブはレースの一種

　ギャモン率を知りたいことは、実戦でかなりあります。
　グラフ１は，クローズアウトのポジションをいくつかロールアウトしてグラフにしたものです。
　ギャモン・セーブは、自陣の６ポイントを着地点としたレースです。６ポイントにクロスオーバーするために必要なピップ数合計とギャモン率の間には、グラフ１のように、見えない線が浮かんできます。
　いっしょに、その線をつないでみましょう。

　推定したいギャモン率も、浮かんでくる曲線上にあります。
　８０％あたりまでを大胆に直線として見ると、６ポイントまでのピップ数合計から１８ピップ引いた値に２を掛けるという簡単な計算でギャモン率を概算できます。数式では、

Ｇ＝（Ｑ－１８）×２〔％〕　……　超概算式
Ｑ〔ピップ〕:６ポイントまでのピップ数合計（５８まで）

です。この超概算は、±７％くらいの精度と思います｡

グラフで隣り合う２点のギャモン率をＱで按分すると、この間のギャモン率を推定できます。また、点ごとのギャモン率と曲線の傾きから類似するポジションのギャモン率を推定することも実用的と考えられます。曲線の傾きは、Ｑの１ピップあたりギャモン率が何％増えるかを意味します。

　グラフをさらに注意深く見ると、浮かんでくる曲線から微妙に点がズレていることに気づきます。このズレの原因はギャモン・セーブのピップロスですので、これをうまく補正すると±３％くらいの精度になると思われます。
　それでは、ギャモン率と曲線の傾きを調べておいて、ギャモン・セーブのピップロスを補正することも試みながら、ギャモン率を推定する方法をご紹介しましょう。

図１
Q=40

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
97.0%	46.7%	0.1%	2.7%

（２）推定例その１
　図１は、ミッドポイントに３駒残して１駒クローズアウトしたポジションです。（超概算ではQ=40なのでG=44％です。）
　この参照ポジションでは、●のギャモン率は約４６．７％、○のＱ１ピップあたり２．７％ギャモン率が変化します。
①　類似ポジションの選定と概算
　図１をもとに、図２のギャモン率を推定してみましょう。

図２
Q=44

　図２では、○６ポイントまでのピップ数合計Ｑは、４ピップ増えています。（超概算ではQ=44なのでG=52％です。）
図１との違いが、○のミッドの１駒が４ピップ後ろなら、 ４６．７％＋２．７％×４ピップ≒５８％
くらいという推定で、かなりの精度と思います。

ギャモン・セーブのピップロスとなる○の配置を補正してみましょう。ピップへの換算値は、私の推測値です。
②　１クロスオーバーに０．５ピップ加算
　図２の例では、○８ポイントの２クロスオーバが増えていますので、２倍して１ピップ加算してみます。
③　７、８ポイントの２駒目以降は０．５ピップ加算
　８ポイントに２駒ありますので、０．５ピップ加算します。
④　２から４ポイントのギャップは０．５ピップ加算

　図２では、図１の１ポイントの替わりに３、４ポイントにギャップがありますので、差し引き０．５ピップ加算します。
クロスオーバの着地点が、６ポイント、５ポイントになりますので、図２のようにクラッシュしたボードでも６ポイント、５ポイントはギャップとして数えないこととします。
　以上の②～④のピップ補正をすると、図２では、図１に
　４＋（１＋０．５＋０．５）＝６ピップ分の加算をして、
　４６．７％＋２．７％×６ピップ≒６３％
のギャモン率と推定します。
⑤　勝率全体に影響する要素の補正　
　相手のボードの状況は、勝率全体に影響すると考えて補正します。図２では、○がクラッシュしている分、負ける確率が２％程度減り、それに応じてギャモン率も約１％強（２％の６３％は約１．２％）増えると考えられますので、最終的に、ギャモン率は約６４％であると推定します。

図３

　図３は、1993年の英国チャンピオンPaul Lamford著"100　Backgammon Puzzles"（1999）の問４です。出題は、ポイントマッチで双方が最後ゲームとなるDMPとして設定されています。
　５０ピップ以上リードしているため、レースでは負けがほとんどなく、DMPであればヒットする必要がありません。
　クローズアウトすると、６６　５５　４４　６５　６４　６３　６２　の１１とおりでブロットを発生し、ヒットされる確率が約１０％あるので、DMPでは２駒上げます。
　図３を変形して、通常のセッションの場合は２１をどうプレイすべきか考えてみましょう。
通常のセッションとした問題は、負ける確率とギャモン率の兼ね合いを考慮しなければならない一例となります。
実戦では、長考をしてでも、ギャモン率をできるだけ正確に見積もって判断する必要があります。

①　類似ポジションの選定とギャモン率の概算
２１でクローズアウトした図４と○のミッドポイントに２駒残してクローズアウトした図５を比較します。
超概算式では、図４のギャモン率は、Q=31よりG=26％、図５ではQ=33 より G=30％になります。

図４
Q=31

図４は，図５と比較して、○の６ポイントにクロスオーバするピップ数Ｑは２ピップ少なく、図５の数値で概算すると、
２６．５％－１．５％×２ピップ≒２３．５％
くらいのギャモン率となります。

図５
Q=33

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.8%	26.5%	0.1%	1.5%

ギャモンセーブのピップロスを補正してみます。
②　１クロスオーバーに０．５ピップ加算
　図４を図５と比較すると、○１３ポイントの１クロスオーバが減り、７ポイント、８ポイントに４駒ありますので、差し引き３クロスオーバの１．５ピップを加算してみます。
③　７、８ポイントの２駒目以降は０．５ピップ加算
　○７ポイントに３駒ありますので、１ピップ加算します。
　ミッドポイントの１駒と８ポイントの１駒は、７ポイントにある駒と目の使い方が重複する配置なので、更に０．５ピップずつ加算して２ピップ補正してみます。
④　２から４ポイントのギャップは０．５ピップ加算
　図４では、図５の１ポイントのほかに２ポイントのギャップがありますので、０．５ピップ加算してみます。
⑤　スペアの配置による補正　
　ベアオフのピップロスを補正する方法として、１ポイントの３駒目以降は、２ピップ加算して補正するということがよく行われています。
ギャモン勝ちを狙う場合も同様のピップロスが考えられますので、４ピップマイナスして補正してみます。
　以上②～⑤のピップロス補正を加味すると、
　１．５＋２＋０．５－４＝±０ピップ
なので、①のまま２３．５％のギャモン率と推定します。
⑥　ブロット発生によるギャモン率への影響
　最後に、勝率全体に影響する要素を考えます。
図５と比較しますと、スペアの配置が悪く、ヒットされる確率が１０％以上増えていますので、２３．５％を０．９掛けして、約２１％のギャモン率と最終的に推定します。
⑦　２１でクローズすべきかどうかの結論
　図３のように３ポイントにギャップがある形は、スペア配置が理想的であっても負ける可能性は約７％と思われます。
　２駒上げた形との比較では、今クローズアウトすることによって、負ける確率は約７％増えて約１４％となる一方、ギャモン率は、○がダンスする３ロール弱相当の１５％くらい（負ける確率の２倍強）増えると考えられます。
この形は，クローズアウトしてギャモンを狙うと期待値が高くなる「見えない線」をわずかに超えたところにあります。
　○のピップＱがさらに多ければ，安全なプレイよりもギャモン狙いを選択したほうが明らかに良くなります。

（４）minack流ギャモン率推定法のまとめ

　グラフ１の元となったクローズアウトポジションの勝率、ギャモン率、バックギャモン率、１ピップあたりのギャモン率を末尾に列挙します。精度を確保するために、GNU 0.14 と Snowie3　の２～３plyの1296回フルロールアウト（毎日１ポジションくらいのペースでした）の結果を平均しています。

推定の手順を振り帰ると､以下のとおりです。

① 類似ポジション（Ｑの差を７以下）の選定と概算
② ギャモン・セーブのピップロスを想定した補正
a) １クロスオーバーに０．５ピップ加算
b) ７、８ポイントの２駒目以降は０．５ピップ加算
c) ２から４ポイントのギャップは０．５ピップ加算
③ スペアの配置や勝率全体に影響する要素の補正
a) 上がり側のロスはレースと同じピップ数を補正
b) ヒットの可能性，セーブ側インナーは勝率全体に影響
　実戦では超概算式と②③の補正を組み合わせて１％刻みの計算を小考で行うことも多いです。±５％程度の精度です。

　以上のギャモン率の推定方法は、クラインマン・カウントというレースの勝率推定法を応用した私の仮説をまとめたものです。まだまだ改善の余地がありますので、お気づきの点をお知らせいただければ幸いです。　　　　　　　【続く】
【図２、図４のロールアウト結果と「よくある質問の答え」：minack's HP
ご意見をよろしく　minack@my.email.ne.jp】

図６
Q=19（図６の後に本文図５、図１が入ります）

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
97.7%	2.9%	0.0%	1.3%

図7
Q=43

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
97.1%	52.0%	0.1%	2.6%

図８
Q=55

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
97.6%	77.5%	0.0%	1.5%

　図９
Q=57

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
98.0%	80.6%	0.0%	1.3%

図１０
Q=38

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
95.0%	43.7%	1.3%	2.2%

図１１
Q=52

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.0%	73.7%	0.9%	1.7%

図１２
Ｑ＝５９＞５８

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.4%	83.4%	0.8%	0.8%

図１３
Ｑ＝６２＞５８

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.6%	84.8%	0.8%	0.8%

図１４
Ｑ＝７４＞５８

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.9%	92.3%	0.9%	0.4%

図１５
　Ｑ＝５７

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
95.1%	78.3%	6.0%	0.6%

図１６
　Ｑ＝７１＞５８

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
95.6%	89.2%	4.8%	0.4%

図１７
　Ｑ＝８１＞５８

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
96.1%	92.0%	4.7%	0.3%

図１８
　Ｑ＝７６＞５８（４枚クローズ）

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
94.1%	87.3%	21.3%	0.3%

図１９
　Ｑ＝９５＞５８（５枚クローズ）

勝率	ギャモン率	バックG率	１ピップあたりのギャモン率
93.4%	86.3%	39.6%	0.2%